Zahlenfamilien (Zahlenmengen) und Lösungsmengen

Zahlenmengen

Die Zahlen in der Mathematik haben sich erst allmählich entwickelt. Die ersten Zahlen befassten sich nur mit Dingen, die man abzählen konnte (Stückzahlen). Das nennen wir heute die natürlichen Zahlen. Ursprünglich gehörte die Null nicht dazu, die wurde in ihrer heutigen Form zwischen 300 v.Chr. und 600 n.Chr. erst in Indien den natürlichen Zahlen hinzugefügt. Im Übrigen haben wir den Indern auch das Dezimalsystem in unserer heutigen Ausprägung zu verdanken. Alle weiteren Zahlen sind lediglich Erweiterungen der natürlichen Zahlen.
Die erste Erweiterung sind die ganzen Zahlen. Sie umfassen die natürlichen Zahlen, aber auch die negativen Zahlen. Als zweites sind die Brüche oder die rationalen Zahlen die nächste Erweiterung. Rational leitet sich vom lateinischen „ratio“ ab. Die rationalen Zahlen umfassen dann die ganzen Zahlen und die Brüche. Die letzte Familie, die in der Schule in der Regel von Bedeutung ist, sind die reellen Zahlen. Die enthalten die rationalen Zahlen, aber auch solche Zahlen wie \(\sqrt 2\). Das sind die irrationalen Zahlen, also Dezimalzahlen, die sich nicht durch einen Bruch darstellen lassen. Die letzte heute bekannte Zahlenfamilie sind die komplexen Zahlen. Diese lösen das Problem, dass man aus negativen Zahlen keine Wurzeln ziehen kann. Die komplexen Zahlen sind übrigens recht neu. Sie wurden erst 1831 von Carl Friedrich Gauß eingeführt und sind heute z.B in der Elektrotechnik nicht mehr wegzudenken.
Ich habe die Familien – oder mathematisch besser ausgedrückt: Zahlenmengen – hier noch einmal tabellarisch aufgeführt:

Soweit so gut…

Doch wozu das Ganze?

Der Profi-Mathematiker beschäftigt sich sehr stark mit Mengen - aber wir? Nun, gelegentlich müssen auch wir uns beim Lösen von Gleichungen und Ungleichungen damit auseinandersetzen. Ganz verschärft gilt das für Bruchgleichungen, aber auch bei „normalen“ Gleichungen können wir gelegentlich damit konfrontiert werden. Es gibt nämlich Fälle, bei denen wir zu keiner Lösung einer Gleichung kommen. Das liegt dann daran, dass ein Ergebnis die Voraussetzungen, die gemacht worden sind, nicht erfüllt. Dann hat die Gleichung nämlich keine Lösung. Damit kommen wir zu den

Lösungsmengen

Die Betrachtung von Voraussetzungen für eine Gleichung im Vergleich mit den erhaltenen Lösungen ist in vielen Fällen sinnvoll und unabdingbar. Eine wichtige Rolle spielt das z.B. bei Bruchgleichungen.
Wir müssen uns im Grunde genommen immer zwei einfache Fragen stellen:

• Was habe ich für Voraussetzungen?
• Passt meine Lösung in die Voraussetzungen?

Wenn das Ergebnis in die Voraussetzung passt, ist nichts weiter zu tun. Dann ist die Lösung existent. Gibt es dagegen Widersprüche, gibt es mehrere Fälle zu unterscheiden:

1. Widerspruch zur Grundmenge \(\Bbb{G}\)
   Löse in \(\Bbb{N}\). \begin{align} x + 4 &= 3~~~~~ | – 4\\ x &= – 1 \end{align} Die Zahl – 1 ist nicht in \(\Bbb{N}\) enthalten, also hat die Gleichung in \(\Bbb{N}\) keine Lösung (wohl aber, wenn Voraussetzung \(\Bbb{Z}\) gewesen wäre!). Der Mathematiker spricht dann von einer leeren Lösungsmenge. Also wäre \[\Bbb{L} = \{\emptyset\}\] und damit Lösung der Aufgabe.


2. Widerspruch in der Lösung selbst \begin{align} 6x &= 2 (3x+ 4)\\ 6x &= 6x + 8 |~~~~~ – 6x\\ 0 &= 8 \end{align} Das ist ein Widerspruch! Es gilt ganz klar: \(0 \ne 8\). Es gibt also keine Zahl, wie immer \(\Bbb{G}\) auch beschaffen ist, die diese Gleichung zu einer wahren Aussage führt. Daher ist also wiederum
   \[\Bbb{L} = \{\emptyset\}\] und damit Lösung der Aufgabe.


3. Unendlich viele Lösungen \begin{align} 20 – 5x &= – 5 (x –4)\\ 20 – 5x &= – 5x + 20~~~~~ | – 20\\ – 5x &= – 5x ~~~~~| : (– 5)\\ x &= x \end{align} Das bedeutet, ich kann für \(x\) beliebige Werte einsetzen. Ich erhalteimmer eine richtige Aussage. Eine solche Gleichung nennen wirallgemeingültig.


4. Lösungen bei Bruchgleichungen, Widerspruch zu den Voraussetzungen
   Bei Bruchgleichungen müssen wirvor den einzelnen Lösungsschritten Überlegungen anstellen. Bruchgleichungen zeichnen sich dadurch aus, dass die Unbekannte(n) im Nenner steht(stehen). Wir wissen auch, dass der Bruchstrich ein Divisionszeichen ersetzt. Ebenfalls wissen wir, dass es ein unumstößliches Gesetz gibt: Durch 0 darf ich nicht teilen. Und das ist bei Bruchgleichungen sehr wichtig.
   Ich muss im ersten Schritt – bevor ich noch irgendetwas anderes rechne – schauen, wie die einzelnen Nenner ausschauen. Ich muss ausschließen, dass der Nenner 0 wird. Steht also im Nenner: \(x - 2\), sehe ich sofort: \(x\) darf nicht 2 werden; denn dann würde der Nenner 0 (2 – 2 = 0). Das potenzielle Ergebnis \(x = 2\) muss ichvor der Rechnung ausschließen. Erhalte ich dennoch \(x = 2\) als Ergebnis, so hat meine Gleichung keine Lösung, denn es steht im Widerspruch zu den Voraussetzungen. Einer der Nenner würde 0 – und durch 0 darf ich nicht teilen! Also wäre dann hier die Lösung \(\Bbb{L} = \{\emptyset\}\).

Deshalb: bei Bruchgleichungen nicht gleich drauflosrechnen, erst überlegen. Das zeige ich euch ausführlich beim Kapitel Arbeiten mit Bruchgleichungen