Mit Bruchgleichungen arbeitet man ganz genauso wie Bruchtermen und "normalen" Gleichungen. Die Regeln sind identisch! Puh... Das ist doch schon mal ganz angenehm. Also schauen wir, wie es läuft...
Bruchgleichungen unterscheiden sich durch die anderen Gleichungen dadurch, dass im Nenner eine Variable steht, also z.B.
\[{{8+x} \over x} = 5\]oder
\[{4 \over {x+2}} = {3 \over{x - 2}}\]Das Arbeiten mit solchen Gleichungen unterscheidet sich nur in den ersten Schritten vom Arbeiten mit anderen Gleichungen.
Da hier die Variable im Nenner steht, muss aus mathematischer Sicht eine Vorbetrachtung erfolgen, da der Nenner nie 0 werden darf (Durch 0 darf man nicht teilen!!!!). Wir müssen alsojeden einzelnen Nenner daraufhin untersuchen, ob es Werte für die Variable gibt, so dass der Nenner 0 wird. Diese Werte müssen ausdrücklich ausgeschlossen werden (aufschreiben!!).
Und was passiert, wenn unsere Lösung eine der ausgeschlossenen Zahlen ergibt? Nun, da diese Lösung ja nicht sein darf, hat die Gleichung in diesem Fall schlichtweg keine Lösung.
| einfacher Nenner | komplexer Nenner |
|---|---|
| \[{{8+x} \over x} = 5\]
Hier steht nur die Variable \(x\) im Nenner. Daher sieht man sofort, \(x\) darf nicht 0 werden. Das müssen wir als Lösung ausschließen: \[{{8+x} \over x} = 5\] \[x \ne 0\] |
\[{4 \over {x+2}} = {3 \over{x - 2}}\]
Hier liegen zwei unterschiedliche Nenner vor, die beide nicht 0 werden dürfen. Sie müssen getrennt untersucht werden. Für den Nenner \(x + 2\) darf \(x\) nicht den Wert – 2 annehmen. Bei dem anderen Nenner \(x - 2\) darf \(x\) nicht den Wert 2 annehmen. Beide Werte müssen wieder ausgeschlossen werden: \[{4 \over {x+2}} = {3 \over{x - 2}}\] \(x \ne -2\) und \(x \ne 2\) |
Damit die Variable im Nenner beseitigt werden kann, muss der Hauptnenner gesucht werden (vgl. „Arbeiten mit Bruchtermen“). Das Verfahren ist im Prinzip das gleiche wie bei den Bruchtermen. Damit beim weiteren Rechnen Fehler vermieden werden, versehen wir zunächst alle mehrgliedrigen Teilterme in den Brüchen mit einer Klammer. Danach ermitteln wir den Hauptnenner und bringen alle Terme auf den Hauptnenner. An dieser Stelle erfolgt nochkeine(!!!!) Zusammenfassung, sondern alles bleibt als Faktor stehen. Bei der Suche des Hauptnenners sollten wir die Nenner zunächst, wenn möglich, faktorisieren. Den Hauptnenner ermitteln wir nämlich dadurch, dass wir jeden einzelnen Faktor genau einmal herausschreiben. Das Produkt aller dieser Faktoren bildet dann den Hauptnenner.
Und weil das jetzt wieder hübsch abstrakt ist, zeige ich euch das an drei Beispielen:
| einfacher Nenner | komplexer Nenner | schwieriger Nenner |
|---|---|---|
| \[{{8+x} \over x} = 5\]
\[x \ne 0\]
Klammern setzen: \[{{(8+x)} \over x} = 5\]Hauptnenner suchen: |
\[{4 \over {x+2}} = {3 \over{x - 2}}\]
\(x \ne -2\) und \(x \ne 2\)
Klammern setzen: \[{4 \over {(x+2)}} = {3 \over{(x - 2)}}\]Hauptnenner suchen: |
\[{5 \over {4x + 12}} + {{x + 5} \over {x^2 - 9}} = {3 \over{x - 3}}\]
\(x \ne -3\) und \(x \ne 3\)
Klammern setzen: \[{5 \over {(4x + 12)}} + {{(x + 5)} \over {(x^2 - 9)}} = {3 \over{(x - 3)}}\]Hauptnenner suchen: Die Nenner haben jetzt gemeinsame Faktoren. Jeder Faktor wird für den Hauptnenner genau einmal übernommen; also ist der Hauptnenner: |
Danach erweitern wir alle Brüche mit allen Faktoren, die nicht in dem jeweiligen Nenner vorkommen.
| einfacher Nenner | komplexer Nenner | schwieriger Nenner |
|---|---|---|
Erweitern wir mit den fehlenden Faktoren: \[{{(8+x)} \over x}\]muss nicht erweitert werden, da bereits alle Faktoren im Nenner stehen. wird zu \[5x \over x\] Damit sieht die Gleichung folgendermaßen aus: \[{{(8+x)} \over x} = {5x \over x}\] |
Erweitern wir mit den fehlenden Faktoren: \[{4 \over {(x+2)}}\]muss mit dem fehlenden Faktor \((x – 2)\) erweitert werden, wird also zu \[{4~(x - 2) \over {(x+2)(x - 2)}}\]\[{{3 \over{(x - 2)}}}\] muss mit dem fehlenden Faktor \((x + 2)\) erweitert werden, wird also zu \[{{3~(x + 2) \over{(x - 2)(x + 2)}}}\]Damit sieht die Gleichung folgendermaßen aus: \[{4~(x - 2) \over {(x+2)(x - 2)}}= {{3~(x + 2)} \over{(x - 2)(x + 2)}}\] |
Erweitern wir mit den fehlenden Faktoren: \[{5 \over {4(x + 3)}}\]muss mit dem fehlenden Faktor \((x - 3)\) erweitert werden, wird also zu \[{5 (x - 3)\over {4(x + 3)(x - 3)}}\]\[{(x + 5) \over {(x + 3)(x - 3)}}\] muss mit dem fehlenden Faktor 4 erweitert werden, wird also zu \[{(x + 5)~4 \over {(x + 3)(x - 3)~4}}\]\[{3 \over {(x - 3)}}\] muss mit den fehlenden Faktoren \((x + 3)\) und 4 erweitert werden, wird also zu \[{3 (x + 3)~4 \over {(x - 3)(x + 3)~4}}\]Damit sieht die Gleichung folgendermaßen aus: \[{5 (x - 3)\over {4(x + 3)(x - 3)}} + {(x + 5)~4 \over {(x + 3)(x - 3)~4}} = {3 (x + 3)~4 \over {(x - 3)(x + 3)~4}}\] |
Zuletzt multiplizieren wir nun die gesamte Gleichung mit dem Hauptnenner. Dadurch können wir den Hauptnenner auf beiden Seiten wegkürzen – und eine „normale“ Gleichung bleibt übrig, die wir dann nach den bekannten Regeln auflösen können.
| einfacher Nenner | komplexer Nenner | schwieriger Nenner |
|---|---|---|
|
Übrig bleibt: \(8 + x = 5x\)Das können wir bequem ausrechnen: \begin{align} 8& = 4x\\ 2& = x\\ \text{oder}\\ x& = 2 \end{align} |
Übrig bleibt: \(4 (x – 2) = 3 (x + 2)\)Das können wir bequem ausrechnen: \begin{align} 4x - 8 &= 3x + 6\\ x &= 14 \end{align} |
Übrig bleibt: \(5 (x – 3) + 4 (x + 5) = 3 (x + 3)~4\)Das können wir bequem ausrechnen: \begin{align} 5x - 15 + 4x + 20 &= 12(x+3)\\ 9x + 5 &= 12x + 36\\ -31 &= 3x\\ {-{31 \over 3}} &= x\\ \text {oder}\\ x &= {-{31 \over 3}} \end{align} |
Wir müssen jetzt noch jede einzelne Lösung daraufhin untersuchen, ob sie gegen die Ausschlüsse verstoßen. Wir stellen fest: bei allen Lösungen ist das nicht der Fall. Alle Lösungen sind damit existent.
Geschafft!!! 😊
Wenn wir die Beispiele in Ruhe ansehen und nachvollziehen, wird (hoffentlich) deutlich, dass das Ganze nicht sonderlich schwer ist, sondern viel Formalarbeit beinhaltet. Das hat aber auch den Vorteil, dass wir ein Anleitungsschema haben, nach dem wir uns richten können. Bei Bruchgleichungen müssen wir konsequent Schritt für Schritt und Teilterm für Teilterm vorgehen. Wollen wir zu viel auf einmal machen, geht das in der Regel schief - und das wollen wir nicht. 😊
Mit Hilfe der vorgestellten Beispiele können wir im Prinzip jede Bruchgleichung lösen. Aufpassen müssen wir natürlich noch bei negativen Vorzeichen.
Wenn ein negatives Vorzeichen vor dem Bruch steht, gilt es für den gesamten Zähler! Beispiel:
Wenn \(2x\) der Hauptnenner in einer Bruchgleichung wäre, bleibt dann nach dem Kürzen mit dem Hauptnenner noch
\[-(3 - x)\]übrig. Aufgelöst ergibt das:
\[– 3 + x\] Daher ist das Setzen der Klammern vor dem eigentlichen Rechnen so wichtig und sollte nicht weggelassen werden. Es erleichtert euch die Übersicht erheblich!
So!!! nun hoffe ich, dass das Kapitel "Bruchgleichungen" seinen Schrecken für euch verloren hat - zumindest ein bisschen... 😉.