Nun, die Zinsrechnung unterscheidet sich kaum von der Prozentrechnung. Von daher wird sie mindestens so alt sein wie diese. Richtig ausgefeilt wurde sie auch von den italienischen Kaufleuten des Mittelalters.
Ist ja auch nicht viel, also los….
Die Zinsrechnung ist im Prinzip erst einmal nur eine ganz normale Prozentrechnung. Die beiden großen Unterschied sind, dass sich Zinsrechnung nur mit Geld beschäftigt und dass die Zeit eine Rolle spielt. Wenn der Betrachtungszeitraum genau ein Jahr beträgt, ändert sich an der ursprünglichen Rechnung und Formal nichts, nur die Begriffe werden ausgetauscht. Das heißt aber auch: wir haben nicht wirklich etwas neues vor uns 😊. Hier eine kleine Gegenüberstellung, die das verdeutlicht:
| Prozentrechnung | Zinsrechnung | |
|---|---|---|
| Prozentsatz (p) | wird zu | Zinssatz (p) |
| Grundwert (G) | wird zu | Kapital (K) |
| Prozentwert (P) | wird zu | Zinsen (Z) |
| \[P = G \cdot {p \over 100}\] | wird zu | \[Z = K \cdot {p \over 100}\] |
Das ist der Betrag, den man für einen angelegten Geldbetrag bekommt, bzw. für ein Darlehen zahlen muss. Man erkennt ihn in allen Aufgaben immer daran, dass ein Prozentzeichen (%) dahintersteht. Wenn nach dem Zinssatz gefragt ist, lauten die Standardfragen:„Um wie viel Prozent...“, „Wie viel Prozent von...“, „Welcher Zinssatz...“.
Das ist die Ausgangsmenge, von der etwas berechnet wird. Das ist der Betrag, den man z.B. anlegt oder die Kreditsumme, die man aufnimmt.
Zinsen bekommt man nach Ablauf einer bestimmten Frist gutgeschrieben (z.B. bei Anlagen) oder man muss sie bezahlen (Kredit, Darlehen…).
Das wirklich neue bei der Zinsrechnung ist die Zeitabhängigkeit. Wenn man ein Kapital zwei, drei oder vier Jahre anlegt, bekommt man bei jährlicher Auszahlung der Zinsen nach Ablauf der Frist auch zwei-, drei-, oder viermal so viel Zinsen. Das berücksichtigt man in der Formel ganz einfach durch einen Zeitfaktor und erhält die sogenannteKip-Formel:
\[Z = {{K \cdot i \cdot p} \over 100} \]
i steht dabei für die Zeit. Wir werden gleich sehen, wie wir damit umgehen.
Es gibt nicht selten den Fall, dass Finanzgeschäfte nur für den Bruchteil eines Jahres, also nur wenige Tage, angelegt werden. Dann bekommen wir (bzw. wir müssen zahlen) nur einen Bruchteil der Zinsen. Da das Jahr 365 Tage hat und die Monate unterschiedlich lang sind, hat man im Bankwesen folgende Vereinfachungen vorgenommen:
1 Jahr hat immer 360 Tage.
1 Monat hat immer 30 Tage.
Wenn Tageszinsen berechnet werden, sind diese also immer ein Bruchteil von 360 oder \(d \over 360 \) (d entspricht der Anzahl der Tage). Damit verändert sich die Zinsformel zu:
\[Z = {{K \cdot p \cdot d}\over 100 \cdot 360} \]
Natürlich kann der Zeitfaktor i auch in Monaten und/oder Jahren angegeben werden. Dann muss er in Bruchteilen von Monaten bzw. Jahren angegeben werden. Bei Angaben von Monaten folgt:
\[Z = {{K \cdot p \cdot m}\over 100 \cdot 12} \]
\[Z = {{K \cdot p }\over 100} \cdot i \]
Dann lassen sich die Zeitbruchteile leichter einsetzen (z.B. für 5 Monate gilt: \(i= {5 \over 12}\), für 195 Tage gilt: \(i= {195 \over 360}\)).
Hier ist noch einmal die Zinsformel nach allen Bestandteilen aufgelöst. Wir werden aber noch sehen, das geht auch einfacher...
\[Z = {{K \cdot p \cdot i} \over 100} \]
\[K = {{Z \cdot 100} \over {p \cdot i}} \]
\[p= {{Z \cdot 100} \over {K \cdot i}} \]
\[i= {{Z \cdot 100} \over {K \cdot p}} \]
Für i wird dann der entsprechende Wert eingesetzt:
Bei Jahren \(i =\) Anzahl der Jahre
Bei Monaten \(i= {m \over 12}\), wobei m die Anzahl der Monate ist
Bei Tagen \(i= {d \over 360}\), wobei d die Anzahl der Tage ist.
Nun haben wir ja eine ganze Reihe von schönen Formeln kennengelernt, die immer in den Mathebüchern zu finden sind. Ich finde aber, es geht auch ein wenig einfacher und systematischer. Wir können im Grunde genommen die gesamte Zinsrechnung auf drei Formeln zurückführen, die sich alle von der Grundformel ableiten. Wir müssen nur wissen, ob die Zinsen in Jahren, in Monaten oder Tagen berechnet werden:
Bei Jahren verwenden wir:
\[\large \boldsymbol {100 \cdot Z = K \cdot p \cdot i} \]
Bei Monaten verwenden wir:
\[\large \boldsymbol {100 \cdot 12 \cdot Z = K \cdot p \cdot m} \]
Bei Tagen verwenden wir:
\[\large \boldsymbol {100 \cdot 360 \cdot Z = K \cdot p \cdot d} \]
Wir gehen folgendermaßen Schjritt für Schritt vor:
Damit das Ganze nicht so theoretisch bleibt, kommen hier noch ein paar
\[\large \boldsymbol {100 \cdot Z = K \cdot p \cdot i} \]
Auf der Seite von K stehen noch p und i. Diese werden als Produkt in den Nenner auf der anderen Seite geschrieben, also\[K = {{Z \cdot 100} \over {p \cdot i}} \]
\[\large \boldsymbol {100 \cdot 12 \cdot Z = K \cdot p \cdot m} \]
Auf der Seite von p stehen noch K und m. Diese werden als Produkt in den Nenner auf der anderen Seite geschrieben, also\[p= {{Z \cdot 100 \cdot 12} \over {K \cdot m}} \]
\[\large \boldsymbol {100 \cdot 360 \cdot Z = K \cdot p \cdot d} \]
Auf der Seite von d stehen noch K und p. Diese werden als Produkt in den Nenner auf der anderen Seite geschrieben, also\[d= {{Z \cdot 100 \cdot 360} \over {K \cdot p}} \]
Nachdem die Formel umgestellt ist, einfach die gegebenen Werte einsetzen und die Rechenhilfe quälen. Die Umformung erfolgt auf die gleiche Weise wie in den drei Beispielen zu sehen war, wenn nach anderen Bestandteilen wie z.B.Z gefragt ist. Auf diese Art und Weise lassen sich wirklich alle Aufgaben der Zinsrechnung in Klasse 8 lösen. Mehr braucht's nicht!!! Und damit haben wir wieder ein Kapitel erfolgreich abgeschlossen. 😊 Auch hier galt wie bei vielen anderen meiner Themen auch: Eigentlich nichts Neues! Das ist halt Mathematik... 😉