Nun, die Prozentrechnung an sich ist wohl so alt wie das Geldwesen (also ziemlich alt…). In ihrer heutigen Form geht sie wohl auf die italienischen Kaufleute der italienischen Stadtstaaten – wie z.B. Florenz, Venedig… – im Mittelalter zurück. Die Kaufleute rechneten in der Regel mit Hundertsten Teilen der Geldbeträge. Das heißt im Italienischen – auch heute noch! – „per cento“ (sprich: per tschento). Die Abkürzung dafür in ihren Büchern war einfach „cto“. Daraus ist dann auch das heutige Prozentzeichen erstanden. Und natürlich hat auch die älteste, noch existierende Bank der Welt, die Banca Monte dei Paschi, die 1472 in Siena gegründet wurde, damit gerechnet. Diese Banken und Kaufleute haben im Übrigen damit auch die Grundlagen unseres heutigen Banken- und Währungssystems geschaffen.
Okay, genug Geschichte. Gehen wir wieder zur schnöden Mathematik. Wer gerade richtig gelesen hat, wird über den Begriff „Hundertstel“ gestolpert sein. Wenn man es genau nimmt, dreht sich bei der Prozentrechnung tatsächlich alles um Brüche mit dem Nenner 100. Mehr ist das eigentlich nicht… Daher kann man Prozentrechnung auch komplett ohne die unten beschriebenen Formeln machen, nur mit Hundertstel-Brüchen und Dreisatz. Ja, ich weiß… das mag nicht jeder und viele sind froh, wenn sie sich an einer Formel festhalte können. Also nutzen wir das.
Ist ja nicht viel, also los….
Für die Prozentrechnung braucht man nur drei Begriffe, die man auseinanderhalten muss:
Das ist der Teil, um den etwas mehr oder weniger wird. Man erkennt ihn in Aufgaben immer daran, dass ein Prozentzeichen beim Zahlenwert (%) steht. Da kann man nix falsch machen. Entweder taucht das in der Aufgabe auf – dann können wir damit arbeiten – oder nicht, dann müssen wir ihn eben ausrechnen.
Das ist die Ausgangsmenge, von der etwas berechnet wird. In Aufgaben muss man aufpassen, dass man ihn nicht mit dem Prozentwert verwechselt.
Das ist die Größe, die als Ergebnis herauskommt, nachdem man den Prozentsatz auf den Grundwert angewendet hat. Je nach Aufgabenstellung kann er größer sein (Berechnung von Aufschlägen, wie z.B. Steuern), oder kleiner (Skonto- oder Rabattrechnungen) als der Grundwert sein.
Die Berechnung erfolgt einfach nach der Formel:
\[\Large P = G \cdot \normalsize {p \over 100} ~~(1)\]
Zwei Terme sind dabei immer bekannt, der Wert des dritten muss ausgerechnet werden. Dabei ist es egal, ob man vorher umformt und dann die Zahlenwerte einsetzt oder erst die Zahlenwerte einsetzt und dann umformt. Für Leute, die mit Termumformung immer noch auf dem Kriegsfuß stehen hier noch mal die Formel auch nach p und G aufgelöst:
\[\Large G = P \cdot \normalsize {100 \over p} ~~(2)\]
\[\Large p = \normalsize \frac{P}{G} \Large \cdot 100 \normalsize ~~(3)\]
Super, also überlegen wir jetzt, wie wir damit umgehen. Fangen wir an mit dem:
Eine typische Frage dafür ist: Wie viel sind 5 % von 30 €? Ich habe hier der Einfachheit halber Euro genommen, könnte genauso gut aber auch Kartoffeln, Erdbeeren oder Kisten nehmen oder... 😉 Nun müssen wir die Werte richtig in die Formel kriegen. Kein Problem: 5 % ist der Prozentsatz. Wie ich oben geschrien habe, steht immer das Prozentzeichen bei ihm. Also ist p = 5. Die 30 € sind der Grundwert. Ich will ja wissen, wie viel Bruchteile denn 5 % sind. Also ist G = 30. Damit haben wir alles für die Formel (1). Schnell eingesetzt und ausgerechnet:
\[\Large P = 30 \cdot \normalsize {5 \over 100} \Large = 1,50~€\]
Mehr ist das nicht! Und wer es halt mit dem Kopfrechnen nicht so hat, quält dann eben seinen Taschenrechner oder was auch immer für eine elektronische Hilfe. Kommen wir zum:
Eine typische Aufgabe dafür wäre: In der Halle stehen 30 Container. Das sind 8 % der ursprünglichen Menge. Wie viel Container standen vorher in der Halle. Wir haben wieder die Aufgabe, das vernünftig in eine Formel zu kriegen. 8 % ist wieder einfach. Das ist der Prozentsatz, also p = 8. An Containern stehen noch 30 Stück da. Das ist, was übrig ist, also müssen vorher mehr Container da gestanden haben. Damit muss das der Prozentwert sein, also P = 30. Damit haben wir alles für die Formel (2). Schnell eingesetzt und ausgerechnet:
\[\Large G = 30 \cdot \normalsize {100 \over 8} \Large = 375 \]
Also standen vorher 375 Container in der Halle.
Die Aufgaben zur Berechnung des Grundwerts sind gedanklich immer ein bisschen kniffliger. Aber mit gesundem Menschenverstand kriegen wir das hin. Jetzt fehlt uns nur noch der:
Zunächst einmal zeichnen sich Fragen zum Prozentsatz dadurch aus, dass in der Aufgabe kein Zahlenwert mit Prozentzeichen steht. Dadurch lassen sich diese Aufgaben schnell erkennen. Auch hier eine typische Aufgabe: Von 4563 Kämmen sind noch 563 übrig. Wie viel % sind das? Auch hier müssen wir das wieder in die Formel bekommen. Ursprünglich hatten wir 4536 Kämme, also G = 4536. Das ist der Grundwert. Davon sind noch 567 da. Das ist der Prozentwert, also P = 567. Damit haben wir alles für die Formel (3). Schnell eingesetzt und ausgerechnet:
\[\Large p = \normalsize {567 \over 4236} \Large \cdot 100 = 12,5~\%\]
Es sind also noch 12,5 % der Kämme im Lager.Das wäre alles zur Einstimmung. Wir sehen, mit ein klein wenig Überlegung kriegen wir schon ganz viel geregelt.
Es gibt ja aber noch die anderen Aufgabentypen <seufz>… Was machen wir damit? Auch das ist nicht sooo schwer, zumal die Formeln ja die gleichen bleiben. Wir müssen nur vorher ein wenig nachdenken:
Wenn z.B. eine Ware um 16% verteuert wird, kostet sie vor der Erhöhung 100%, hinterher 116%. Um den Prozentwert nach einer Erhöhung um 16% auszurechnen, muss ich also als Prozentsatz 116 einsetzen. Das ist schon alles. Für angehende Kaufleute: das ist eine wichtige Rechentechnik, da ja im Geschäft mit Privatkunden die Mehrwertsteuer auf den Verkaufspreis aufgeschlagen werden muss. Die beträgt derzeit für „normale“ Waren 19 %, für Lebensmittel 7 %. Rechnen wir mal ein Beispiel durch: Der Verkaufspreis einer Ware beträgt 4,19 €. Wie hoch beträgt ist der Verkaufspreis mit Mehrwertsteuer? Okay, die Mehrwertsteuer wird aufgeschlagen, also ist p = 119. Der Grundwert ist 4,19. Eingesetzt in Formel (1) ergibt sich als Ergebnis (auf zwei Stellen gerundet):
\[\Large P = 4,19 \cdot \normalsize {119 \over 100} \Large = 4,99~€\]
Da in der Formel der Prozentsatz immer als \(p \over {100}\) geschrieben wird, kann man das vereinfachen. Der Prozentwert bei einer Erhöhung um beispielsweise 19% berechnet sich dann nach:
\[\Large \boldsymbol {P = G \cdot 1,19} \]
Der Kaufmann spricht hier auch von Nettopreisen (ohne Mehrwertsteuer) und Bruttopreisen (inklusive Mehrwertsteuer). Mit dieser Formel können wir schnell von Netto- in Bruttopreisen umrechnen (mal 1,19) und umgekehrt (geteilt durch 1,19). Für den kleineren Steuersatz beträgt der Faktor im Übrigen 1,07. Ist dann wirklich ganz einfach. Für unser Beispiel von eben heißt das: Der Nettopreis beträgt 4,19 €. Der Bruttopreis beträgt dann:
\[\Large \boldsymbol {P = 4,19 \cdot 1,19 = 4,99~€} \]
Die typischen Aufgaben hierfür sind Berechnungen von Rabatten. Wenn ein Rabattabzug von beispielsweise 20% vorliegt, kostet die Ware vorher 100%, nach Abzug noch 80%. Um den neuen Preis auszurechnen, muss als Prozentsatz dann 80 eingesetzt werden. Auch hier ein Beispiel: Im Schlussverkauf wird ein T-Shirt, das ursprünglich 25€ kostete mit einem Rabatt von 20 % verkauft. Wie viel kostet es jetzt? Okay: Vorher hat es 100 % gekostet, jetzt kostet es noch 80 %, also ist p = 80. Der Grundwert ist der Preis des T-Shirts vor der Reduzierung, also G = 25. Mit Formel (1) ergibt sich:
\[\Large P = 25 \cdot \normalsize {80 \over 100} \Large = 20~€\]
Das war der Überblick über die Prozentrechnung. Alle bekannten Aufgabentypen lassen sich auf eine der vorgestellten Lösungsansätze zurückführen. Der Trick dabei ist: vorhergenau lesen, was gemacht wird, also z.B., was soll ausgerechnet werden? Oder: wird etwas erhöht/erniedrigt? Usw… Dann knackt ihr jede Prozentaufgabe!!!
Zum Üben habe ich hier wieder die Möglichkeit geschaffen. Viel Erfolg!