Arbeiten mit Bruchtermen

Grundsatz

Mit Bruchtermen arbeitet man ganz genauso wie mit „normalen“ Brüchen. Die Regeln sind identisch! Puh... Das ist doch schon mal ganz angenehm. Also schauen wir, wie es läuft...

Voraussetzungen

Beherrschung der Rechenregeln der Bruchrechnung.

Einführendes Beispiel

"normaler" Bruch	Bruchterm 1	Bruchterm 2
\[{{1} \over {2}} + {{1} \over {3}} \] 1. Schritt: Wir suchen den Hauptnenner (HN).Regel: Zwei Brüche mit unterschiedlichem Nenner werden addiert bzw. subtrahiert, indem man sie erst gleichnamig macht und dann die Rechenoperation durchführt. Der Hauptnenner ist immer das kgV der Einzelnenner. Im vorliegenden Beispiel HN: \[2 \cdot 3 \] Für alle, für die das kgV ein Graus ist: Bei Brüchen ist das Produktaller Nennerimmer auch ein Hauptnenner, in der Regel nur nicht der kleinstmögliche. Dabei können häufig recht große Zahlen entstehen. Daher verwendet man in der Regel lieber das kgV. Es geht aber auch ohne.	\[{{1} \over {a}} + {{1} \over {b}} \] Da wir hier nicht wissen, welche Wertea undb annehmen, ist der Hauptnenner grundsätzlich das Produkt der Nenner. Der Hauptnenner ist hier also: HN: \[a \cdot b \]	\[{{2x} \over {3z}} - {{8y} \over {5w}} \] Auch hier wissen wir nicht, welche Wertez undw annehmen. Daher ist der Hauptnenner auch hier das Produkt der Nenner. Der Hauptnenner ist hier also: HN: \[3z \cdot 5w\]
2. Schritt: Beide Brüche werden so erweitert, dass sie den gleichen Nenner bekommen. Regel: Ein Bruch wird erweitert, indem man Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multipliziert. \[{{1 \cdot 3} \over {2 \cdot 3}} + {{1 \cdot 2} \over {3 \cdot 2}} \]	Da wir hier den Wert der Variablen nicht kennen, multiplizieren wir einfach mit dem Nenner des jeweils anderen Bruches. Sonst ändert sich nix. \[{{1 \cdot b} \over {a \cdot b}} + {{1\cdot a} \over {b \cdot a}} \]	Da wir hier den Wert der Variablen nicht kennen, multiplizieren wir einfach mit dem Nenner des jeweils anderen Bruches. Sonst ändert sich nix. \[{{2x \cdot 5w} \over {3z \cdot 5w}} - {{8y \cdot 3z} \over {5w \cdot 3z}} \]
3. Schritt: Ausrechnen und sortieren \[{{1 \cdot 3} \over {2 \cdot 3}} + {{1 \cdot 2} \over {3 \cdot 2}} = {{3+2} \over {6}} = {{5} \over {6}}\]	\[{{b} \over {a \cdot b}} + {{a} \over {b \cdot a}} = {{a+b} \over {a~b}} \]	\[{{2x \cdot 5w} \over {3z \cdot 5w}} - {{8y \cdot 3z} \over {5w \cdot 3z}} = {{10wx - 24yz} \over {15 w z}}\]

"normaler" Bruch

Bruchterm 1

Bruchterm 2

\[{{1} \over {2}} + {{1} \over {3}} \]

1. Schritt: Wir suchen den Hauptnenner (HN).Regel: Zwei Brüche mit unterschiedlichem Nenner werden addiert bzw. subtrahiert, indem man sie erst gleichnamig macht und dann die Rechenoperation durchführt.
Der Hauptnenner ist immer das kgV der Einzelnenner. Im vorliegenden Beispiel
HN:

\[2 \cdot 3 \]

Für alle, für die das kgV ein Graus ist: Bei Brüchen ist das Produktaller Nennerimmer auch ein Hauptnenner, in der Regel nur nicht der kleinstmögliche. Dabei können häufig recht große Zahlen entstehen. Daher verwendet man in der Regel lieber das kgV. Es geht aber auch ohne.

\[{{1} \over {a}} + {{1} \over {b}} \]

Da wir hier nicht wissen, welche Wertea undb annehmen, ist der Hauptnenner grundsätzlich das Produkt der Nenner. Der Hauptnenner ist hier also:
HN:

\[a \cdot b \]

\[{{2x} \over {3z}} - {{8y} \over {5w}} \]

Auch hier wissen wir nicht, welche Wertez undw annehmen. Daher ist der Hauptnenner auch hier das Produkt der Nenner. Der Hauptnenner ist hier also:
HN:

\[3z \cdot 5w\]

2. Schritt: Beide Brüche werden so erweitert, dass sie den gleichen Nenner bekommen.
Regel: Ein Bruch wird erweitert, indem man Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multipliziert.

\[{{1 \cdot 3} \over {2 \cdot 3}} + {{1 \cdot 2} \over {3 \cdot 2}} \]

Da wir hier den Wert der Variablen nicht kennen, multiplizieren wir einfach mit dem Nenner des jeweils anderen Bruches. Sonst ändert sich nix.

\[{{1 \cdot b} \over {a \cdot b}} + {{1\cdot a} \over {b \cdot a}} \]

Da wir hier den Wert der Variablen nicht kennen, multiplizieren wir einfach mit dem Nenner des jeweils anderen Bruches. Sonst ändert sich nix.

\[{{2x \cdot 5w} \over {3z \cdot 5w}} - {{8y \cdot 3z} \over {5w \cdot 3z}} \]

3. Schritt: Ausrechnen und sortieren

\[{{1 \cdot 3} \over {2 \cdot 3}} + {{1 \cdot 2} \over {3 \cdot 2}} = {{3+2} \over {6}} = {{5} \over {6}}\]

\[{{b} \over {a \cdot b}} + {{a} \over {b \cdot a}} = {{a+b} \over {a~b}} \]

\[{{2x \cdot 5w} \over {3z \cdot 5w}} - {{8y \cdot 3z} \over {5w \cdot 3z}} = {{10wx - 24yz} \over {15 w z}}\]

Wir sehen: das ist alles keine Hexerei! Wir müssen uns wirklich nur an die Regeln der Bruchrechnung halten und schon läuft es 😊.

Weitere Beispiele

"normaler" Bruch	Bruchterm 1	Bruchterm 2
Kürzen Ein Bruch wird gekürzt, indem man Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl dividiert. \[{{28} \over {35}} \] kann durch 7 gekürzt werden. \[{{28 : 7} \over {35 : 7}} = {{4} \over {5}} \]	\[{a \cdot b} \over {a \cdot c}\] kann durcha gekürzt werden. \[{{a \cdot b : a} \over {a \cdot c : a}} = {{b} \over {c}}\]	\[{{a+b} \over {(a + b)(a - b)}} \] kann durch(a + b) gekürzt werden. \[{{(a+b) : (a + b)} \over {(a + b)(a - b) : (a + b)}} = {{1} \over {a - b}}\]
Multiplizieren (1) Ein Bruch wird mit einer ganzen Zahl multipliziert, indem man den Zähler mit der Zahl multipliziert. \[ {{3} \over {4}} \cdot 9 = {{3 \cdot 9} \over {4}} = {{27} \over {4}}\]	\[ {{x} \over {z}} \cdot e = {{xe} \over {z}} \]	\[ {{d + f} \over {4 - x}} \cdot v = {{(d + f) v} \over {4 - x}} = {{dv + fv} \over {4 - x}}\]
Multiplizieren (2) Ein Bruch wird mit einem Bruch multipliziert, indem man die Zähler miteinander multipliziert und die Nenner miteinander multipliziert. \[ {{3} \over {4}} \cdot {{5} \over {7}} = {{3 \cdot 5} \over {4 \cdot 7}} = {{15} \over {28}}\]	\[ {{e} \over {f}} \cdot {{z}\over {u}} = {{ez} \over {fu}} \]	\[ {{g + h} \over {x - y}} \cdot {{x} \over {x - y}} = {{(g + h) x} \over {(4 - x)(4 - x)}} = \] \[{{gx + hx} \over {(x - y)^2}}\]
Dividieren Ein Bruch wird durch einen zweiten Bruch dividiert, indem man mit dem Kehrwert des 2. Bruches multipliziert.Achtung! Ganze Zahlen werden hier als "Eintel" geschrieben! \[ {{3} \over {5}} : {{2} \over {7}} = {{3} \over {5}} \cdot {{7} \over {2}} = {{21} \over {10}}\] \[ {{4} \over {7}} : 9 = {{4} \over {7}} : {{9} \over {1}} = {{4} \over {7}} \cdot {{1} \over {9}} = {{4} \over {63}}\]	\[ {{a} \over {b}} : {{g} \over {k}} = {{a} \over {b}} \cdot {{k} \over {g}} = {{ak} \over {bg}}\] \[ {{l} \over {c}} : w = {{l} \over {c}} : {{w} \over {1}} = {{l} \over {c}} \cdot {{1} \over {w}} = {{l} \over {cw}}\]	\[\small{ {{s} \over {t + u}} : {{j} \over {l - t}} = {{s} \over {t + u}} \cdot {{l - t} \over {j}} = }\] \[ \small {{{s(l - t)} \over {(t + u)j}} = {{sl - st} \over {tj - uj}}} \] \[\small { {{x - 3} \over {y}} : (a - b) = {{x - 3} \over {y}} : {{(a - b)} \over {1}} = }\] \[\small {{{x - 3} \over {y}} \cdot {{1} \over {a - b}} = {{x - 3} \over {y(a - b)}} = {{x - 3} \over {ya - yb}}} \]

"normaler" Bruch

Bruchterm 1

Bruchterm 2

Kürzen

Ein Bruch wird gekürzt, indem man Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl dividiert.

\[{{28} \over {35}} \]

kann durch 7 gekürzt werden.

\[{{28 : 7} \over {35 : 7}} = {{4} \over {5}} \]

\[{a \cdot b} \over {a \cdot c}\]

kann durcha gekürzt werden.

\[{{a \cdot b : a} \over {a \cdot c : a}} = {{b} \over {c}}\]

\[{{a+b} \over {(a + b)(a - b)}} \]

kann durch(a + b) gekürzt werden.

\[{{(a+b) : (a + b)} \over {(a + b)(a - b) : (a + b)}} = {{1} \over {a - b}}\]

Multiplizieren (1)

Ein Bruch wird mit einer ganzen Zahl multipliziert, indem man den Zähler mit der Zahl multipliziert.

\[ {{3} \over {4}} \cdot 9 = {{3 \cdot 9} \over {4}} = {{27} \over {4}}\]

\[ {{x} \over {z}} \cdot e = {{xe} \over {z}} \]

\[ {{d + f} \over {4 - x}} \cdot v = {{(d + f) v} \over {4 - x}} = {{dv + fv} \over {4 - x}}\]

Multiplizieren (2)

Ein Bruch wird mit einem Bruch multipliziert, indem man die Zähler miteinander multipliziert und die Nenner miteinander multipliziert.

\[ {{3} \over {4}} \cdot {{5} \over {7}} = {{3 \cdot 5} \over {4 \cdot 7}} = {{15} \over {28}}\]

\[ {{e} \over {f}} \cdot {{z}\over {u}} = {{ez} \over {fu}} \]

\[ {{g + h} \over {x - y}} \cdot {{x} \over {x - y}} = {{(g + h) x} \over {(4 - x)(4 - x)}} = \]

\[{{gx + hx} \over {(x - y)^2}}\]

Dividieren

Ein Bruch wird durch einen zweiten Bruch dividiert, indem man mit dem Kehrwert des 2. Bruches multipliziert.Achtung! Ganze Zahlen werden hier als "Eintel" geschrieben!

\[ {{3} \over {5}} : {{2} \over {7}} = {{3} \over {5}} \cdot {{7} \over {2}} = {{21} \over {10}}\]

\[ {{4} \over {7}} : 9 = {{4} \over {7}} : {{9} \over {1}} = {{4} \over {7}} \cdot {{1} \over {9}} = {{4} \over {63}}\]

\[ {{a} \over {b}} : {{g} \over {k}} = {{a} \over {b}} \cdot {{k} \over {g}} = {{ak} \over {bg}}\]

\[ {{l} \over {c}} : w = {{l} \over {c}} : {{w} \over {1}} = {{l} \over {c}} \cdot {{1} \over {w}} = {{l} \over {cw}}\]

\[\small{ {{s} \over {t + u}} : {{j} \over {l - t}} = {{s} \over {t + u}} \cdot {{l - t} \over {j}} = }\]

\[ \small {{{s(l - t)} \over {(t + u)j}} = {{sl - st} \over {tj - uj}}} \]

\[\small { {{x - 3} \over {y}} : (a - b) = {{x - 3} \over {y}} : {{(a - b)} \over {1}} = }\]

\[\small {{{x - 3} \over {y}} \cdot {{1} \over {a - b}} = {{x - 3} \over {y(a - b)}} = {{x - 3} \over {ya - yb}}} \]

Puuuhhh.... Das war's mit den Bruchtermen. Auf den ersten Blick sieht das ja ziemlich kompliziert aus, ist es aber im Grunde gar nicht. Wer Rechnen mit Brüchen kann und Arbeiten mit Termen hat hier leichtes Spiel. Alle Regeln gelten auch hier. Wie gesagt - Vieles in der Mathematik ist nicht wirklich neu, nur anders gedacht. Aber das wissen wir ja schon und lassen uns natürlich nicht abschrecken.
Ein Wort noch zum Schluss: Wenn Ihr schon auf das kgV verzichtet, dann sollte aber das Endergebnis eurer Rechnung durchgekürzt sein. Ich kenne doch Eure Mathelehrer... 😉