Wenn es um Winkel geht, wird in der Mathematik – und nicht nur da – häufig mit dem sogenannten Bogenmaß gearbeitet. Doch was ist das eigentlich?
Man geht von einem sogenannten Einheitskreis aus. Das ist nichts Gefährliches, sondern einfach ein Kreis mit dem Radius 1.
Wie wir an anderer Stelle schon gelernt haben, ist der Umfang eines Kreises:
\[\Large \boldsymbol {u = 2 \cdot \pi \cdot r} \]
Das bedeutet, wenn ich den Kreisbogen einmal ablaufe, habe ich einen Winkel von 360° durchlaufen. Bei einem Radius von 1 hat der Bogen die Länge 2 π.
\[\Large \boldsymbol {u = 2 \cdot \pi \cdot 1} \]
Habe ich nur 180° abgelaufen, entspricht das der der Länge von π.
Das ist nicht allzu schwer. Zum Glück ist das Ganze auch noch proportional, so dass man zu jedem Winkel die Länge des zugehörigen Kreisbogens bequem ausrechnen kann.
Das Bogenmaß hat sogar ein Symbol, nämlichrad. Das wird zwar in der Praxis weniger verwendet, ist aber manchmal hilfreich wie bei den Umrechnungsformeln, die ich euch mit auf den Weg geben möchte.
Für die folgenden Formeln gilt:
rad = Länge des Bogens des zugehörigen Winkels
\[\Large rad = {{\alpha~ \cdot~ \pi}\over {180}}\]
Ein kleines Beispiel: Die Bogenlänge eines Winkels von 30° beträgt:
\[\Large rad = {{30°~ \cdot~ \pi}\over {180}}~ \approx 0,523\]
\[\Large \alpha~ =~ {rad~ \cdot~ 180\over {\pi}}\]
Auch hier folgt ein kleines Beispiel. Der zugehörige Winkel der Bogenlänge von 0,698 beträgt:
\[\Large \alpha~ =~ {0,698~ \cdot~ 180\over {\pi}}~ \approx~ 40°\]
Hinweis: Euer Taschenrechner kann auch mit Bogenmaß rechnen. In den meisten Fällen findet ihr eine Taste, die mitDRG beschriftet ist. Damit könnt ihr den Rechner umstellen. Damit könnt ihr abernicht umrechnen!
Und wer seinen Taschenrechner nicht quälen will, kann hier einfach die gegebenen Werte eingeben und erhält blitzartig das Ergebnis 😉. Ein Hinweis noch: Die Rechnung ist extrem rundungsanfällig. Ihr solltet mit drei Nachkommastellen arbeiten. Sonst wird das Ergebnis zu ungenau. Bitte denkt daran, das Komma als Punkt einzugeben!