Rationale Zahlen

kurze Wiederholung

Außer den bekannten positiven Zahlen, gibt es auch negative Zahlen. Diese liegen auf dem Zahlenstrahl links von der 0 und werden mit zunehmender Entfernung von der 0 kleiner.

Zahlenstrahl

Also: – 5 < – 3 – 3 < – 0,5 – 2 < + 5

Bei negativen Zahlenmuss das Vorzeichen stehen!!!!
Bei positiven Zahlen kann man das positive Vorzeichen weglassen.
Also: + 4 = 4
Der Betrag einer Zahl entspricht ihrem Zahlenwert ohne Vorzeichen. Der Betrag einer Zahl ist somit immer positiv!
Der Mathematiker schreibt:
| – 3 | = 3 Sprich: Der Betrag von minus drei ist gleich drei.
| + 3 | = 3 Sprich: Der Betrag von plus drei ist gleich drei.

Addition und Subtraktion rationaler Zahlen

Regel 1:

Folgen zwei Zahlen mit gleichem Vorzeichen aufeinander, wird der Betrag der Zahlen addiert. Das Ergebnis erhält das gemeinsame Vorzeichen.

Beispiel:

+ 2 + 3 = + 5oder 2 + 3 = 5	Beide Zahlen sind positiv, also ist das Ergebnis ebenfalls positiv.

+ 27 + 33 = + 60 oder 27 + 33 = 60	Beide Zahlen sind positiv, also ist das Ergebnis ebenfalls positiv.

– 2 – 3 = – 5	Beide Zahlen sind negativ, also ist das Ergebnis ebenfalls negativ.

– 27 – 33 = – 60	Beide Zahlen sind negativ, also ist das Ergebnis eben-falls negativ.

Regel 2:

Folgen zwei Zahlen mit unterschiedlichem Vorzeichen aufeinander, wird der Betrag der kleineren Zahl vom Betrag der größeren Zahl subtrahiert. Das Ergebnis erhält das Vorzeichen der größeren Zahl.

Beispiel:

– 2 + 3 = + 1oder – 2 + 3 = 1	(Die Zahl mit dem größeren Betrag ist 3, also muss 3 – 2 gerechnet werden: Ergebnis: 1. Die größere Zahl (3) hat ein positives Vorzeichen, also ist das Ergebnis positiv.

– 3 + 2 = – 1	Die Zahl mit dem größeren Betrag ist 3, also muss 3 – 2 gerechnet werden: Ergebnis: 1. Die größere Zahl (3) hat ein negatives Vorzeichen, also ist das Ergebnis negativ.

5 – 7 = – 2	Die Zahl mit dem größeren Betrag ist 7, also muss 7 – 5 gerechnet werden: Ergebnis: 2. Die größere Zahl (7) hat ein negatives Vorzeichen, also ist das Ergebnis negativ.

7 – 5 = + 2oder 7 – 5 = 2	Die Zahl mit dem größeren Betrag ist 7, also muss 7 – 5 gerechnet werden: Ergebnis: 2. Die größere Zahl (7) hat ein positives Vorzeichen, also ist das Ergebnis positiv.

Regel 3:

Es dürfen keine zwei Rechenzeichen aufeinander folgen. Sie müssen immer durch Klammern getrennt werden! Vorzeichen werden dabei wie Rechenzeichen behandelt!

Beispiel:

3 – (– 4)5 – ( + 7)8 + (– 11)

Solche Ausdrücke kann man leicht ausrechnen. Es ergeben sich folgende Regeln:

Regel 4:

Treffen zwei gleiche Rechenzeichen (+ oder – ) aufeinander, werden sie durch ein + ersetzt.
Treffen zwei unterschiedliche Rechenzeichen (+ und – ) aufeinander, werden sie durch ein – ersetzt.

Beispiel:

3 – (– 4) = 3 + 4 = 7c	Zwei negative Rechenzeichen werden positiv.

3 – ( + 4) = 3 – 4 = – 1	Zwei unterschiedliche Rechenzeichen werden negativ. Danach wird nach Regel 2 weitergerechnet.

3 + (– 4) = 3 – 4 = – 1	Zwei unterschiedliche Rechenzeichen werden negativ. Danach wird nach Regel 2 weitergerechnet.

Auch die erste Zahl eines solchen Ausdrucks kann in Klammern gesetzt werden. Es gelten zum Weglassen der Klammern die gleichen Regeln wie bei Regel 4. Danach wird wie bei Regel 2 weitergerechnet.

( + 3) + ( + 4 ) = 3 + 4 = 7	Vor der ersten Klammer steht kein Vorzeichen, also ist ein positives Vorzeichen vorausgesetzt. Vor der zweiten Klammer steht ein positives Vorzeichen, also treffen hier zwei gleiche Vorzeichen aufeinander. Diese werden nach Regel 4 durch ein positives Vorzeichen ersetzt.

( + 3) – (+ 4) = 3 – 4 = – 1	Vor der ersten Klammer steht kein Vorzeichen, also ist ein positives Vorzeichen vorausgesetzt. Vor der zweiten Klammer steht ein negatives Vorzeichen. Hier treffen zwei unterschiedliche Vorzeichen aufeinander. Diese werden nach Regel 4 durch ein negatives Vorzeichen ersetzt.

( – 3) + ( + 4) = – 3 + 4 = 1	Vor der ersten Klammer steht kein Vorzeichen, also ist ein positives Vorzeichen vorausgesetzt. Vor der zweiten Klammer steht ein positives Vorzeichen, also treffen hier zwei gleiche Vorzeichen aufeinander. Diese werden nach Regel 4 durch ein positives Vorzeichen ersetzt.

– ( – 3) + (– 4) = 3 – 4 = – 1	Vor der ersten Klammer steht ein negatives Vorzeichen, also treffen hier zwei negative Vorzeichen aufeinander. Diese werden nach Regel 4 durch ein positives ersetzt. Vor der zweiten Klammer steht ein positives Vorzeichen. Hier treffen zwei unterschiedliche Vorzeichen aufeinander. Diese werden nach Regel 4 durch ein negatives Vorzeichen ersetzt.

– ( + 3) – (– 4) = – 3 + 4 = 1	Vor der ersten Klammer steht ein negatives Vorzeichen, also treffen hier zwei unterschiedliche Vorzeichen aufeinander. Diese werden nach Regel 4 durch ein negatives Vorzeichen ersetzt Vor der zweiten Klammer steht ein negatives Vorzeichen, also treffen hier zwei gleiche Vorzeichen aufeinander. Diese werden nach Regel 4 durch ein positives Vorzeichen ersetzt.

Regel 5:

Stehen mehrere Elemente in einer Klammer gilt:
Steht ein positives Vorzeichen vor der Klammer, kann sie einfach weggelassen werden.
Steht ein negatives Vorzeichen vor der Klammer, kann die Klammer weggelassen werden, wenn vorher alle Vorzeichen in der Klammer ins Gegenteil umgekehrt werden (aus+ wird– , aus– wird+ ).

Beispiel:

( – 3 + 4 – 6 + 7 – 3) = – 3 + 4 – 6 + 7 – 3 = – 1
– ( – 3 + 4 – 6 + 7 – 3) = + 3 – 4 + 6 – 7+ 3 = + 1 = 1

Übungen

So, wem jetzt der Kopf brummt hat hier die Gelegenheit zum Üben. Gebt einfach in die beiden grauen Felder bei Addition oder Subtraktion eure Zahlen mit Vorzeichen ein. Im grünen Feld seht ihr dann die komplette Aufgabe mit der Lösung. Verucht euch erst an ganzen Zahlen.
Es dürfen auch Dezimalbrüche eingegeben werden. Ihr könnt die "normal" eingeben. Die Ausgabe erfolgt allerdings immer in englischer Schreibweise (also "." statt ","). Allerdings kann es unter Umständen zu internen Rundungsfehlern kommen, so dass ihr so etwas wie 3.99999999 seht. Aber das könnt ihr sicherlich perfekt richtig runden, besser als euer Rechner 😉

Viel Spaß beim Üben!